平滑过渡回归模型

2024-11-16 · 阅读 1296 · 点赞 1 · 留言 0  

平滑过渡回归（smooth transition regression，STR）模型是这样一种模型：$$y_t = x_t’\beta+z_t’\alpha+G(q_t|\delta,c)z_t’\gamma +u_t$$模型中\(z_t\)的系数（向量）为某一阈值变量\(q_t\)的函数：$$\alpha+G(q_t|\delta,c)\gamma$$其中，\(q_t\)通过过渡函数（transition function）\(G(\cdot|\delta,c)\)来影响\(z_t\)对\(y_t\)的边际影响，\(\delta\)为斜率参数，\(c\)为阈值参数，\(\alpha\)为\(z_t\)线性部分的系数，\(\gamma\)为\(z_t\)非线性部分的系数。

如果\(G(\cdot|\delta,c)\)取离散值的话，显然，STR就是离散阈值回归。所以，在EViews中，STR模型的估计也使用threshold命令。在STR模型中，\(G(\cdot|\delta,c)\)是一个取值在(0,1)间的连续函数，这也是”平滑过渡“的含义。

模型估计

EViews中提供以下四种过渡函数以供使用，它们分别对应逻辑斯特STR模型、指数STR模型、正态STR模型和二阶逻辑斯特STR模型。

Logistic：$$G(s|\delta,c)=\frac{1}{1+e^{-\delta(s-c)}}$$

Exponential：$$G(s|\delta,c)=1-e^{-\delta(s-c)^2}$$

Normal：$$G(s|\delta,c)=\Phi(\delta(s-c))$$ $$\Phi(\cdot)\text{为标准正态分布的累积分布函数}$$

Logistic, second-order：$$G(s|\delta,c)=\frac{1}{1+e^{-\delta(s-c_1)(s-c_2)}}$$

threshold命令的用法与估计离散阈值回归类似，只需令参数type=smooth即可。默认状态下，EViews会估计逻辑斯特STR模型，估计另外三种STR模型需要设参数smoothtrans分别为exponential、normal或logistic2。例如：

smpl 1953m01 1990m12
equation eq1.threshold(type=smooth) cp c fygt10(-1 to -2) @thresh 1 2

估计结果如下：

估计结果显示，最优的阈值变量为\(cp_{t-1}\)，斜率参数的估计值为0.162293，阈值参数的估计值为5.986313。

对某一自变量，如果只想保留它非线性部分的系数而不要其线性部分的系数（也就是将系数强制设为0），那么，只需在代码中将其套上@alt即可。例如：

equation eq1.threshold(type=smooth) cp c fygt10(-1) @alt(fygt10(-2)) @thresh 1 2

线性检验

对STR模型，一个很重要的问题是：是否有必要引入导致模型非线性的过渡函数。对这一问题，我们可以通过线性检验（linearity tests）得到答案。线性检验的原理很简单，就是检验\(\delta=0\)，但是，我们不能通过估计结果中“SLOPE”一行的p值来做这一检验，原因是在此原假设下，\(c\)和\(\gamma\)是无法被识别的。所以，这不是一个常规的检验（那个p值是错的😂）。进行线性检验使用的命令为strlinear，用法为：

eq1.strlinear

代码执行后会报告三种检验结果，原理在此不赘述，请查阅相关资料🎈。

命令复习

• (.)threshold(type=smooth)：估计平滑过渡回归模型
• .strlinear：对STR模型进行线性检验

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 把上面的逻辑斯特STR模型改为二阶逻辑斯特STR模型并估计，两个阈值参数的估计是多少？它们显著吗？

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离散阈值回归模型

2024-11-15 · 阅读 1448 · 点赞 2 · 留言 0  

离散阈值回归（discrete threshold regression）也叫离散门槛回归，是这样一种回归模型：模型中某些自变量的系数取值依赖于某个变量（被称为阈值变量或门槛变量）且呈离散状态（有限个）。该模型可表达为：$$y_t = x_t’\beta+z_t’\gamma_s+u_t \quad \text{ if } \quad \delta_s \leq q_t < \delta_{s+1}$$其中，\(q_t\)为阈值变量，\(\delta_1,\cdots,\delta_m\)为\(m\)个阈值参数，\(\delta_0=-\infty\)，\(\delta_{m+1}=+\infty\)。显然，当\(q_t\)取不同值时，\(z_t\)对\(y_t\)的边际影响可能是不同的。

估计离散阈值回归模型需要设定离散参数的个数\(m\)，在EViews中，\(m\)可以通过假设检验的方式自动确定（相关检验请参看EViews的指南），当然，也可以自行设定。在EViews中，也可以同时提供多个阈值变量，由软件自动选择最优的一个（对应最小的残差平方和）。

在EViews中，估计离散阈值回归模型需要使用threshold命令。打开EViews安装目录下的Example Files\EV13 Manual Data\Chapter 05 – Basic Data Handling\bonds.wf1，如果我们要估计如下模型：$$cp_t = \phi_{0s} +\sum_{i=1}^3\phi_{is}cp_{t-i} + \beta fygt10_t+u_t$$且选择\(cp_{t-1}\)、\(cp_{t-2}\)、\(cp_{t-3}\)或\(cp_{t-4}\)为阈值变量，那么，可以执行如下代码：

smpl 1953m01 1990m12
equation eq1.threshold cp c cp(-1 to -3) @nv fygt10 @thresh 1 4

代码中的@nv（non-varying之意）用来声明系数不受阈值变量影响的变量，@thresh用来设定备选的阈值变量：“1 4”表示因变量的一到四阶滞后为备选阈值变量，”1 4″也可以等价写为”cp(-1 to -4)”。估计结果如下：

可以看到，“Variable chosen”显示最优的阈值变量是\(cp_{t-4}\)。此外，EViews自动检验后选择的阈值参数个数是1，其估计值为8.939999。如果需要自行设定阈值参数的个数，可以在threshold命令后加上“(method=fixedglob,nbreaks=2)”，前一个参数控制确定\(m\)的方法，后一个参数设\(m=2\)。

命令复习

• (.)threshold：估计离散阈值回归模型

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 对上面为cp建立的离散阈值回归，如果把阈值变量改为fybaac的0到3阶滞后，最优的阈值变量是哪个？阈值参数的个数是多少？

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MIDAS回归模型

2024-11-13 · 阅读 2049 · 点赞 0 · 留言 0  

MIDAS（Mixed Data Sampling，混合数据采样）回归是一类时间序列回归模型，它允许在模型的右侧放入更高频率的采样数据。

在MIDAS回归模型出世之前，在回归模型中融入更高频率数据的方式有两种。一种是把高频数据合成低频变量，然后再放入回归模型中。例如，$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \gamma (\frac{\sum_{i=0}^2 z_{t-i}^H}{3}) +u_t$$其中，\(y_t\)和\(x_t\)是季度变量，\(z_t^H\)是月度变量，\(\beta_0\)、\(\beta_1\)和\(\gamma\)是模型参数。这里的合成是把一个季度里对应的月度数据（\(z_t^H\)：季度\(t\)最后一个月的\(z\)；\(z_{t-1}^H\)：季度\(t\)中间月份的\(z\)；\(z_{t-2}^H\)：季度\(t\)第一个月的\(z\)）进行了等权重平均。当然，合成的方式完全可以采取别的形式。合成低频变量最大问题在于合成的主观性。通常，我们并不清楚一个高频变量如何降频才是合适的。

另一种使用高频数据的方式是直接把高频数据扔进回归中。例如，$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \sum_{i=0}^2 \gamma_i z_{t-i}^H +u_t$$这种方式完全由数据驱动来寻找最优的合成方案（假设\(z_t^H\)和\(y_t\)是线性关系），即寻找最优的加权系数\(\gamma_i\)。从理论上讲，这种方式比主观合成低频变量的方式要好，但它的问题是模型参数会更多。如果备选的高频变量有很多，且高频变量比低频变量的采样频率高很多的话，模型中会含有大量的待估参数，在数据量不够充足的情况下，估计的将偏差会非常大。

MIDAS回归实际上是对上面两种传统方式的折中：既靠数据驱动寻找高频变量的最优加权系数，又加入了一定的主观加权结构以限制参数的个数。

U-MIDAS

MIDAS回归模型的一般表达为：$$y_t =x_t’ \beta+ \sum_{i=0}^{k-1} \gamma_iz_{t-j-i}^H +u_t \tag{1}$$在这里，为了简化说明，我们假设只存在一个高频变量。在估计模型之前，我们需要先设定\(j\)和\(k\)这两个参数。前一个参数设定\(z_t\)从哪一期开始影响\(t\)期的\(y\)；后一个参数设定高频变量的最大滞后阶数（注意：这一参数和低频变量及高频变量的采样频率无关）。如果我们不对加权系数\(\gamma_i\)做任何约束，这实际就是一个普通的多元线性回归，在EViews里被称为U-MIDAS（无约束MIDAS之意）。

估计MIDAS回归需要用到midas命令。打开EViews安装目录下的Example Files\EV13 Manual Data\Chapter 30 – MIDAS Regression\midas.wf1，你会发现workfile里有两个page：

其中，QuarterlyPage存放季度变量，MonthlyPage存放月度变量。

我们用季度变量realgdp对它的一阶滞后及月度变量emp建立一个U-MIDAS回归模型并估计，可以通过以下代码实现：

equation eq1
eq1.midas(fixedlag=5, midwgt=umidas) realgdp c realgdp(-1) @ monthlypage\emp(-1)

括号中的参数fixedlag设定的是模型\((1)\)中的参数\(k\)，参数midwgt设定的是MIDAS回归对高频变量加权的方式。括号后的表达和之前学过的多元回归估计差不多，只是需要在@后把高频变量列出来，包括设好初始的滞后阶数，即模型\((1)\)中的参数\(j\)。上述代码的估计结果为：

可以看到，这个输出结果和多元线性回归的输出结果本质上没有什么差别。

对存在多个高频变量的情形，实现MIDAS回归估计的代码也是类似的。例如，假设还存在一个SemiMonthlyPage的页面（存放每半月采样一次的变量），其中有一个变量m，那么，将其加入到上述模型（设其\(k=8\)、\(j=6\)）可以使用如下代码：

eq1.midas(fixedlag=5 8, midwgt=umidas) realgdp c realgdp(-1) @ monthlypage\emp(-1) semimonthlypage\x(-6)

阶梯加权

当数据量够多、参数不那么多时，使用U-MIDAS是可行的也是更优的，否则，我们需要对\(\gamma_i\)做约束以缩减参数的个数。阶梯加权（step weighting）是这样一种约束方式：$$\gamma_i = \theta_s \text{ for } s = \text{int}(i/L)$$其中，\(\text{int}(i/L)\)表示\(i/L\)的整数部分，\(L\)是一个需要事先设定的取值为正整数的步长（step length）参数。例如，当\(L\)设为2时，\(\gamma_0 = \gamma_1= \theta_0\)、\(\gamma_2 = \gamma_3= \theta_1\)、…这就把无约束情况下加权系数的个数缩减了一半。

采用阶梯加权只需令midwgt=step，并通过参数steps来设置步长（缺省时steps=3）。

Almon加权

Almon加权也叫PDL (polynomial distributed lag，多项式分布滞后) 加权，它通过p阶多项式来约束\(\gamma_i\)：$$\gamma_i =\sum_{s=1}^{p} \theta_s (i+1)^{s-1} $$其中，\(\theta_s\)是待估参数，\(p\)是需要事先设定好取值的参数。显然，只有\(p<k\)时，Almon加权才能起到缩减参数的作用。

如果midas命令后面不带midwgt参数，那么，EViews将采用Almon加权。多项式的阶数由参数polynomial设置（缺省时polynomial=4）。

指数Almon加权

指数Almon加权设\(\gamma_i\)为：$$\gamma_i =\lambda w_i= \lambda \frac{e^{\theta_1i+\theta_2i^2}}{\sum_{s=0}^{k-1}e^{\theta_1s+\theta_2s^2}} $$其中，\(\theta_1\)、\(\theta_2\)和\(\lambda\)是待估参数。\(\lambda\)又叫斜率（slope）参数，这是因为它正是合成变量\(\sum_{i=0}^{k-1} w_iz_{t-j-i}^H\)的系数。

采用阶梯加权只需设midwgt=expalmon。对指数Almon加权和下面的贝塔加权，我们还可以通过cov=white来获得异方差一致的标准误。

贝塔加权

贝塔加权对\(\gamma_i\)的约束为：$$\gamma_i =\lambda w_i = \lambda (\frac{{\omega_i}^{\theta_1-1}(1-{\omega_i})^{\theta_2-1}}{\sum_{s=0}^{k-1}{\omega_s}^{\theta_1-1}(1-{\omega_s})^{\theta_2-1}}+\theta_3) $$其中，\(\theta_1\)、\(\theta_2\)和\(\theta_3\)和\(\lambda\)是唯四需要估计的参数，\(\omega_i\)满足：$$\omega_i =
\begin{cases}
\delta & i=0 \\
i/(k-1) & i=1,\cdots,k-2 \\ 1-\delta & i=k-1
\end{cases}$$其中，\(\delta\)是一个很小的数（\(=2.22e^{-16}\)）。

在EViews中，令midwgt=beta会使用贝塔加权。在使用贝塔加权的情况下，我们可以通过参数beta进一步做三种参数约束：beta=shape对应\(\theta_1 = 1\)；beta=endpoint对应\(\theta_3 =0\)；beta=both对应\(\theta_1 = 1\)且\(\theta_3 =0\)。第一种约束会使\(w_i\)的形状（shape）受\(\theta_2\)控制，如果\(\theta_2>1\)，\(w_i\)会缓慢减小，如果\(\theta_2<1\)，\(w_i\)会缓慢增大。第二种约束会使\(w_i\)的两个端点（endpoint）\(w_0\)和\(w_{k-1}\)会极度接近0。第三种约束兼具前两种效果。

命令复习

• (.)midas：估计MIDAS回归模型

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 基于上文中估计U-MIDAS回归的代码，估计一个基于Almon加权的MIDAS回归模型。如果多项式阶数设为5，你会发现高频变量的系数正好等于U-MIDAS回归的估计结果，这是为什么？
2. 对阶梯加权和Almon加权，我们可以不设定fixedlag参数，而是设定一个maxlag参数，让EViews自动选择最优的\(k\)（寻找残差平方和最小的\(k\)）。对多项式阶数为5的Almon加权，设maxlag=18，最优的\(k\)是多是？

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SVAR模型

2024-05-31 · 阅读 4913 · 点赞 4 · 留言 4  

前面介绍的VAR模型，也叫简约式（reduced-form）VAR模型，这是一个相对SVAR（结构VAR，structural VAR）模型的概念。VAR模型应用的一个困难在于，我们往往不太清楚以什么样的次序排列内生变量，进而获得正交化误差才是合适的。最致命的是，当内生变量较多时，不同排序得出的分析结论可能会相差很大😢。为了解决这一问题，一种途径是使用SVAR模型，从源头上把正交化误差，也叫结构性新息（structural innovation）或结构性冲击（structural shock），给识别出来。

SVAR模型认为简约式VAR模型的误差之所以会存在相关，是因为内生变量间存在同期反馈效应（contemporaneous feedback effect），即同一时期的内生变量间可能会相互影响。因此，SVAR模型的一个基本设定是：$$Ay_t = c + \sum_{i=1}^p A_i^s y_{t-i} + Be_t \tag{1}$$其中，\(A\)和\(A_i^s\)是系数矩阵，其中的系数被称为结构系数（structural coefficients）；\(e_t\)是满足\(Var(e_t)=I_k\)的结构冲击向量。系数矩阵\(A\)的存在是SVAR模型区别于VAR模型的关键。

由于SVAR模型存在同期反馈效应，这使得这一模型具有内生性问题，所以，估计SVAR模型的一种方法是利用工具变量。但是，实际应用中通常不会这么做，这是因为如果我们能利用经济学理论对结构系数进行约束的话，利用简约式VAR的估计结果就能把结构系数识别并估计出来，而不用再去寻找工具变量（寻找好的工具变量常常是件痛苦的事情😢）。常见的约束有三类：A-B约束、S约束和F约束。

A-B约束

对模型\((1)\)中的SVAR模型，我们可以利用\(A\)的逆得到模型的简约式表达：$$y_t = c + \sum_{i=1}^p A_i y_{t-i} + u_t \tag{2}$$其中，\(A_i = A^{-1} A_i^s\)，\(u_t = A^{-1} Be_t \)。所以，简约式VAR模型里的误差方差矩阵为：$$Var(u_t) = \Sigma_u = A^{-1} BB’A’^{-1}$$

基于模型\((2)\)，我们可以获得\(\Sigma_u\)的估计。由于方差矩阵是对称的，所以，这里面包含了对\(k(k+1)/2\)个参数的估计。因为\(A\)和\(B\)共有\(2k^2\)个参数，所以，不对\(A\)和\(B\)进行约束的话，是无法通过估计\(k(k+1)/2\)个参数，进而间接估计出\(A\)和\(B\)的。我们至少需要施加\(2k^2 – k(k+1)/2 = k^2+k(k-1)/2\)个约束才有可能对\(A\)和\(B\)进行识别。

通常，对矩阵\(B\)，我们会设其非对角线上的元素都为0（共\(k^2-k\)个约束）；对矩阵\(A\)，我们会设其对角线全为1（共\(k\)个约束)。因此，我们至少还需对\(A\)的非对角元素再施加\(k(k-1)/2\)个约束。以[VAR模型]里的二元VAR模型为例，我们可以采用如下设定：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ A_{21} & 1 \ \end{bmatrix}$$这意味着同期的dlinc不会进入dlcs的方程。

要估计上述设定的SVAR模型，我们需要先估计对应的简约式VAR模型，再通过设置约束来估计结构系数，相应的代码为：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @unitlower(A)
var_a.append(svar) @diag(B) 
var_a.svar

上面的第一行代码使用cleartext命令（加参数svar）清除已有的SVAR约束设置。第二、三行代码使用append命令（加参数svar）对SVAR进行约束设置：@unitlower函数把\(A\)设为对角线为1（unit的含义）的下三角（lower的含义）矩阵；@diag把\(B\)设为对角矩阵。最后一行代码通过svar命令实施估计。估计结果如下图所示：

图中最上面的部分需要注意收敛是否达成，这是因为SVAR模型的估计方法是MLE，使用了最优化算法。”Structural VAR is just-identified“表明当前的模型是正好识别的，如果存在过度识别，下面的结果会报告检验过度识别的LR统计量。接下来，是展示矩阵\(A\)和\(B\)的约束的部分。然后，是系数的估计结果（包括了估计值、标准误、z统计量和相应检验显著性的p值）以及对数似然值。最后，是矩阵\(A\)和\(B\)以及另外两个矩阵\(S\)和\(F\)（含义见下文）的估计结果。

S约束

如果把\(A^{-1}B\)看作一个整体，令\(S=A^{-1}B\)，有：$$Var(u_t) = \Sigma_u = SS’^{-1}$$在这种设定下可以直接对\(S\)进行约束。由于\(S\)中只有\(k^2\)个参数，因此，一般只需施加\(k(k-1)/2\)个约束就能识别出结构冲击。当然，如果不对\(A\)和\(B\)做设定的话，我们通常无法经由估计\(S\)，进而估计出\(A\)和\(B\)。

接上面的二元VAR例子，在EViews中，如果我们直接对\(S\)矩阵施加约束，至少得施加1个约束。如果我们打算把\(S\)设为上三角矩阵，可以使用@upper函数，代码如下：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @upper(S) 
var_a.svar

对于这个例子，由于对矩阵\(A\)和\(B\)没有做任何设定，所以，在输出的结果中不会出现它们的估计结果。

F约束

上面介绍的A-B约束和S约束都是所谓的短期（short-run）约束，即约束会直接影响结构冲击的短期作用。事实上，为了识别SVAR模型，我们也可以实施长期（long-run）约束，该约束是直接施加在累积响应（系数）上的。

模型\((2)\)可以表达为：$$y_t = \Psi(1)^{-1}c + \Psi(L)^{-1}Se_t $$其中，\(\Psi(L)\)为滞后算子多项式：$$ \Psi(L) = I_k – A_1L – \cdots – A_pL^p$$所以，累计响应（系数）就是\(\Psi(1)^{-1}S\)，这就是EViews中的\(F\)矩阵，F约束即是对它的约束。同S约束一样，为了识别SVAR模型，F约束一般需要至少\(k(k-1)/2\)个。下面是一个施加F约束的例子：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @F(1,2) =  @F(2,1)
var_a.append(svar) @F(1,1) =  1
var_a.svar

中间的两行代码直接对\(F\)矩阵的元素做了约束：令\(F\)的两个非对角元素相等，并令\(F\)的第一个对角元素等于1。由于我们其实只需要施加1个约束就能识别二元SVAR模型，所以，这是一个过度识别的例子。

约束设置

除了上面介绍过的施加约束的方式外，我们还可以利用以下函数：

• @vec(X) = v1, v2 …：该函数对矩阵X按列设定，例如，@vec(A) = 1 0, na 1（此处的na表示对参数不做约束），这等价于@unitupper(A)
• @row(X,r) = a：该函数把X的r行的值全设为a
• @col(X,c) = a：该函数把X的c列的值全设为a

当然，我们也可以采用鼠标模式来设置约束：估计完简约式VAR模型后，点击var对象窗口左上方的Proc/Estimate Structural Factorizaton…，将会出现下图：

图中的Restriction Preset处可以选择一些常用的约束设置；Restrictions处可以用鼠标选中不同的矩阵，然后通过右侧Manual下的框进行手动设置。注意，在EViews中允许同时对4个矩阵进行约束设置，尽管我们一般不会这么做。

冲击响应和方差分解

估计完SVAR模型后，可以利用前面见过的impulse和vdcomp命令来获得冲击响应图和方差分解结果，只是需要注意要把参数imp设定为struct：

var_a.impulse(imp=struct)      
var_a.vdcomp(imp=struct)

命令复习

• .cleartex(svar)：清空SVAR模型的约束设置
• .append(svar)：对SVAR模型进行约束设置
• .svar：输出SVAR模型的估计结果

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 通过@vec函数重现上述施加S约束的估计结果。
2. 对上面的施加F约束的例子，过度识别检验的结果显示约束设置是否合理？

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冲击响应函数

2024-02-16 · 阅读 6036 · 点赞 4 · 留言 4  

VAR模型除了可以用来预测，也可以用来研究VAR系统中一个变量的冲击如何在系统中进行传导，进而影响模型的内生变量。一个变量的冲击，指的是以该变量为因变量的方程的误差的意外变化。

冲击响应函数

冲击响应函数（IRF，Impulse Response Functions）描述VAR系统中某一变量的冲击如何影响内生变量的未来值。以由dlcs和dlinc构建的VAR(2)模型为例：$$ x_t = dlcs_t, z_t = dlinc_t,$$ $$ \begin{bmatrix}x_{t} \\ z_{t} \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \ \end{bmatrix} + \sum_{i=1}^2 \begin{bmatrix}A_{i11} & A_{i12}\\ A_{i21} & A_{i22} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{t-i} \\ z_{t-i} \ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}u_{1t} \\ u_{2t} \\ \end{bmatrix} \tag{1}$$ 该模型的冲击响应函数为：当变量处于VAR模型决定的期望值(稳态)、误差等于0且其他条件保持不变时，\(u_{1t}\)变化对\(\{x_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响，\(u_{1t}\)变化对\(\{z_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响，\(u_{2t}\)变化对\(\{x_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响和\(u_{2t}\)变化对\(\{z_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响。\(u_{1t}\)的变化被称为\(x_{t}\)的冲击，\(u_{2t}\)的变化被称为\(z_{t}\)的冲击。由冲击引起的\(x_{t}\)和\(z_{t}\)的变化被称为响应。

一般情况下，冲击的大小（即误差的变化量）会取为误差的一个标准差。此外，由于误差间常常是相关的：\(cov(u_{1t},u_{2t})\neq 0\)，\(u_{1t}\)的变化会导致\(u_{2t}\)变化，即“其他条件保持不变”无法达成。因此，我们一般不直接考虑模型\((1)\)中误差的变化，而是先利用误差的协方差矩阵的Cholesky分解将误差正交化，然后再考虑正交化误差（它们互不相关）的变化。所以，一般情况下讲的冲击，是对正交化误差而言的。

估计完一个VAR模型后，要获得IRF可以点击var对象窗口上的Impulse，点击后会弹出如下窗口：

其中，Impulses下设置要查看哪些变量的冲击。Responses下设置要考虑哪些变量的响应。Horizon length设置显示多少期冲击的影响。Accumulated Responses如果勾选的话，会显示冲击的累积效应。Methods for SEs and CIs设置要不要显示响应的置信区间，以及如果显示的话用哪种标准误（默认如图所示）。Confidence interval levels设置置信区间的置信水平，默认为0.95。在这个窗口选Impulse Defination会切换到如下窗口：

其中，Decomposition Method设置使用什么样的冲击。EViews默认选Cholesky – dof adjusted，设置冲击为正交化残差一个标准差（也是一单位）的变化，它与选Cholesky – no dof adjustment的区别在于二者计算残差协方差矩阵时后者没有进行自由度调整。Residual – one unit和Residul – one std.deviation表示冲击是原始残差一单位和一个标准差的变化。注意，这四个选项都要求在右侧的Cholesky Ordering下设置内生变量的排序，不同的排序会得到不一样的IRF，默认的排序为估计VAR模型时ls命令后内生变量的排序。Generalized Impulses是一个不一样的选项，选它将输出广义的IRF，它不依赖正交化残差，因此与内生变量的排序无关。设置好一切后，点击确定就能得到IRF。

下面我们看看在键盘模式下如何获得IRF。我们可以使用impulse命令：

var_a.ls 1 2 dlcs dlinc @restrict @l1(1,2) = 0, @l2(1,2)=0
var_a.impulse(se=a)

其中，参数se用于设置响应的标准误的算法，代码中用的是EViews的默认设置。如果没有用这个参数，冲击响应图里不会显示响应的置信区间（下图中阴影部分）。代码执行的结果如下：

图中右侧的图是冲击响应图，两种冲击，两个内生变量，正好四张子图。图中的纵轴表示变量偏离其稳态的值。可以看到，冲击离0期越远，影响越小。此外，一个变量的冲击对它自身的影响一般比对其他变量的影响大。在图的左侧可以进行一些手动的调节，例如，把一个响应对所有的冲击放入同一张图，你可以自行探索一下。

如果我们只关心某些变量的响应，可以在impulse后直接跟上相应的变量，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs

如果只关心某些冲击带来的影响，可以加上@imp，然后跟上相应冲击对应的变量，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs @imp dlinc

如果想要改变默认的内生变量排序，可以利用@order，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs @imp dlinc @order dlinc dlcs

impulse命令有一系列可选参数可用。如果我们想要以数值方式显示IRF，可以这样：

var_a.impulse(se=a,t)        't，table之意

如果想要显示冲击的累积效应，可以这样：

var_a.impulse(se=a,a)        'a,accumulated之意

如果想要显示广义的IRF，可以这样：

var_a.impulse(se=a,imp=gen)        

上面的例子是最常用到的可选参数设置，如果你想学习更多的可选参数及其相应的设置，你可以通过鼠标模式，利用捕获窗口进行进一步的探索。

方差分解

方差分解（variance decomposition）指的是将VAR模型的预测误差的方差进行分解，利用它可以看出预测误差的方差主要是由哪些变量的冲击导致的。实施方差分解可以选var对象窗口左上的View/Variance Decomposition，点击后会弹出如下窗口：

其中，Display Information下设置要进行方差分解的内生变量。Periods设置最多显示几步向前预测的方差分解。Factorization下默认（也只能）选Cholesky分解，这是因为和计算冲击响应函数一样，方差分解也需要使用Cholesky分解（为了保证方差的可加性），这也意味着进行方差分解也要设定内生变量的排序，在Cholesky ordering处设置。右侧设定标准误及置信区间的计算方法，默认是用Monte Carlo重抽样的方式计算，抽样次数为100次。0.95是默认的置信水平。

实施方差分解的命令是vdecomp，它的用法和impulse非常像，请看下面的例子：

var_a.vdecomp(t) dlinc @order dlinc dlcs

代码中，vdecomp后直接跟要进行方差分解的内生变量（此处仅考虑dlinc），@order后设置内生变量的排序，参数t指方差分解将以数值表的形式展示代码，执行的结果如下：

可以看到，对dlinc的一步向前预测，预测误差的方差100%来源于dlinc的冲击；对dlinc的两步向前预测，预测误差的方差有12.06706%来源于dlcs的冲击，有87.93294%来源于dlinc的冲击，…括号里的数值是对应的标准误。

以Stacked graphs的形式展示方差分解结果是比数值表更直观的方式，在EViews 13里，可以通过为vdecomp加上可选参数sg得到Stacked graphs，结果如下图所示：

图中，不同高度不同颜色的竖条代表不同冲击对方差的贡献度。

历史分解

冲击响应和方差分解都是在看冲击带来的”平均“影响。如果我们关注一个特定的（样本内的）历史时段，好奇在那一时段内某一变量的演化主要是由哪些冲击主导的，那么我们可以利用历史分解（historical decomposition）。简单来说，历史分解就是基于已实现的历史数据，把每一个变量分解成不同冲击影响的部分的加和，外加一个近似误差。在EViews，进行历史分解的命令是hdecomp：

var_a.hdecomp       

结果如下图所示：

图中的Total stochastic是两部分冲击影响的加和，绿色的线就是不同冲击影响的部分。可以看到，在全时段内，dlcs的演化基本由dlcs的冲击主导。在某些时段（如75-80年），dlinc的演化由dlcs的冲击主导；在另一些时段内（如93-95年），dlinc的演化由dlinc的冲击主导。如果我们只想看或展示某一时段的历史分解，如75Q1-80Q1，我们可以这样使用hdecomp命令：

var_a.hdecomp(start=1975q1, end=1980q1)

在应用历史分解时，一个需注意的点是我们尽量不要分析样本早期的时段，因为那部分的近似误差一般会较大。

命令复习

• .impulse：输出VAR模型的冲击响应函数
• .vdecomp：输出VAR模型的方差分解结果
• .hdecomp：输出VAR模型的历史分解结果

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 重复上面的操作并以Stacked Graphs的形式输出模型的方差分解结果。
2. 输入代码var_a.hdecomp dlinc，看一看对dlinc，是否还存在其他某些时段，在其中某一冲击起到了明显的主导作用。

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格兰杰因果检验

2024-02-15 · 阅读 5072 · 点赞 4 · 留言 0  

预测一个变量可以利用它自身的历史数据，也可以利用其他变量的历史数据，这是构建VAR模型的动因。估计完一个VAR模型后，一个自然的问题是，其他变量是否真包含了有助于改进目标变量预测精度的信息？要回答这一问题，我们可以使用格兰杰因果（Granger causality）检验。

格兰杰因果检验

仍以由dlcs和dlinc构建的VAR(2)模型为例：$$ x_t = dlcs_t, z_t = dlinc_t,$$ $$ \begin{bmatrix}x_{t} \\ z_{t} \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \ \end{bmatrix} + \sum_{i=1}^2 \begin{bmatrix}A_{i11} & A_{i12}\\ A_{i21} & A_{i22} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{t-i} \\ z_{t-i} \ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}u_{1t} \\ u_{2t} \\ \end{bmatrix} \tag{1}$$ 在模型中，如果\(A_{112}\)和\(A_{212}\)不同时为零，则dlinc的滞后项会进入以dlcs为因变量的方程。在这种情况下，相对基于dlcs的AR(2)模型的预测，我们可以说dlinc的滞后项含有改进预测dlcs的信息，此时，我们称dlinc是dlcs的格兰杰原因。同理，如果\(A_{121}\)和\(A_{221}\)不同时为零，我们称dlcs是dlinc的格兰杰原因。格兰杰因果检验实际上就是检验$$A_{112}=A_{212}=0$$ 或 $$A_{121}=A_{221}=0$$ 在一个VAR模型中，要检验一个变量\(x\)是否是另一个变量\(z\)的格兰杰原因，事实上就是对以\(z\)为因变量的方程检验所有\(x\)的滞后项的系数全为0。

如上所述，格兰杰因果并不是通常意义下我们理解的原因和结果，而是一种与预测改进相关的概念，在实际应用中，这个概念经常被误解。

在EViews中，进行格兰杰因果检验可以在估计完模型后，选var对象窗口左上角的View/Lag Structure/Granger Causality/Block Exogeneity Tests，或利用testexog命令：

var_a.testexog

代码执行的结果如下：

表中的Dependent variable标明了实施格兰杰因果检验的方程，例如，Dependent variable: DLCS表示检验是针对因变量为dlcs的方程实施的。Excluded下的DLINC对应检验dlinc的滞后项系数全为0，即检验dlinc不是dlcs的格兰杰原因。Excluded下的ALL对应检验除因变量外，方程中所有其他变量的滞后项系数全为0。由于当前的VAR模型只含两个变量，所以，DLINC和ALL对应的检验结果是相同的。Chi-sq一列报告了检验统计量的值。检验统计量渐近服从卡方分布，df一列报告了对应的自由度。Prob.一列报告了检验的p值。表中的结果显示，dlinc不是dlcs的格兰杰原因，但dlcs是dlinc的格兰杰原因。

滞后排除检验

对VAR模型，另一个常用的检验是滞后排除（lag exclusion）检验，即检验某阶滞后项的系数是否全为0。例如，对模型\((1)\)，检验\(A_{111}=A_{112}=0\)就是因变量为dlcs的方程的一阶滞后排除检验；检验\(A_{221}=A_{222}=0\)就是因变量为dlinc的方程的二阶滞后排除检验；检验\(A_1=0\)就是整个模型的一阶滞后排除检验。

实施滞后排除检验，可以在估计完模型后选var对象窗口左上角的View/Lag Structure/Granger Causality/Lag Exclusion Tests，或利用testlags命令：

var_a.testlags

代码执行的结果如下：

表中的DLCS和DLINC两列是两个单方程的滞后排除检验结果，Joint一列是整个模型的滞后排除检验结果。Lag 1和Lag 2分别对应一、二阶滞后排除检验。方括号上的数是检验统计量的值，方括号里的数是对应的p值。Joint检验也可以用来确定VAR(p)模型的滞后阶数p。

带约束的模型

利用格兰杰因果检验或滞后排除检验，我们可能会发现VAR模型中的某些系数是不显著的，因此，可以考虑把相应的滞后项从模型中拿掉，这相当于把系数约束为0。有些时候，我们也可以根据经济或金融理论对系数施加约束。对VAR模型的系数进行约束可以减少模型中未知参数的个数，如果约束施加得当，模型的估计偏差会减轻，预测精度会提升。

估计带约束的VAR模型，我们可以在估计VAR模型的窗口选VAR Restricitons，界面如下图所示：

左侧的Lags指对应的系数矩阵，C指截距。右侧的Manual下，我们可以手动对系数进行约束，例如，要把某系数设为0，只需找到对应系数矩阵中的对应元素，然后将NA改为0（NA表示不对系数做约束）。约束设好后，点确定就能估计了。对带约束的情形，EViews会使用更有效的GLS估计模型。

利用代码估计带约束的模型要复杂一些，请看下面的例子。对模型\((1)\)，格兰杰因果检验已经发现dlinc不是dlcs的格兰杰原因，因此，可以考虑设\(A_{112}=A_{212}=0\)，这可以通过如下代码实现：

var_a.ls 1 2 dlcs dlinc @restrict @l1(1,2) = 0, @l2(1,2)=0

代码中，@restrict声明实施约束，后面的@l1(1,2)=0表示将一阶滞后项的系数矩阵的(1,2)元素设为0，@l2(1,2)=0同理。代码执行的结果如下：

如表所示，在以dlcs为因变量的方程中，dlinc的滞后项的系数都被约束为0了。

预测

VAR模型设定好估计完后，就可以实施预测了，动态预测仍用forecast命令，静态预测仍用fit命令。利用VAR模型会同时预测多个变量，所以报告的结果会比应用ARMA或ARIMA模型的情形稍微复杂一点。由于基于VAR模型的预测本质上和基于AR模型的预测没什么区别，因此，我就不赘述了，你可以点var对象窗口上的Forecast自行探索一下。

命令复习

• .testexog：实施格兰杰因果检验
• .testlags：实施滞后排除检验
• .forecast：基于VAR模型实施动态预测
• .fit：基于VAR模型实施静态预测

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 重复上面的操作并利用建立的VAR模型预测1997Q1的dlcs和dlinc。

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