VAR模型

单变量自回归模型是利用变量自身的历史信息预测变量未来的值。如果存在其他相关的变量，把它们的信息纳入预测模型也许能进一步改进预测的精度。VAR（Vector Autoregression，向量自回归）模型正是这一想法的实现。

VAR模型把单变量自回归模型扩展到了\(k\)个变量的情形：$$y_t = c + \sum_{i=1}^p A_i y_{t-i} + u_t \tag{1}$$在这个VAR(p)模型里，\(y_t\)、截距\(c\)和误差\(u_t\)是\(k\times 1\)的向量，\(A_i\)是\(k\times k\)的系数矩阵，p是滞后参数。\(y_t\)中的每一个元素都可以通过模型进行预测，它们被称为内生（endogenous）变量。注意，这里的“内生变量”和线性回归模型语境下的“内生变量”是两个概念，这里的“内生变量”来源于宏观经济学，它指由模型决定的变量(模型中等号左边的变量)，而另一个概念指的是与模型误差相关的变量。在模型中等号的右边，也可以加入其他可能会影响\(y_t\)，但不被\(y_t\)影响的变量，这些变量被称为外生（exogenous）变量。含有外生变量的VAR模型可以表达为：$$y_t = c + \sum_{i=1}^p A_i y_{t-i} + Ca_t + u_t$$此处的\(a_t\)为\(l\times 1\)的外生变量向量，\(C\)是对应的\(k\times l\)系数矩阵。

注意，模型\((1)\)中的未知参数有\(k+k^2\times p\)个。在样本量固定的情况下，未知参数越多，估计偏差越大，所以，为了控制未知参数的个数，实际应用中滞后参数一般不会设得很大。

模型估计与var对象

在EViews中建立并估计一个VAR模型，你需要的配料有三样。一、平稳的内生变量。建立一个AR模型，我们要求数据必须平稳，同样，对VAR模型的建立，平稳性也是必须的。需要注意的是，如果平稳的数据是通过差分得到的，即原始的数据是有单位根的，还需要确定原始数据间没有协整关系，如果有的话，VAR模型是有缺陷的，此时应该使用VEC（Vector Error Correction，向量误差修正）模型（有机会我再介绍）。二、var对象。这一对象是专门用来处理VAR模型和VEC模型的。三、ls命令。VAR模型的估计，使用的仍然是强大的最小二乘法。

打开EViews安装目录下的Example Files\EV12 Manual Data\Chapter 44 – Vector Autoregression and Error Correction Models\var3.wf1（这一数据文件在EViews 13里已经没有了，需要可以点这里下载：var3.wf1），里面有两个变量dlcs和dlinc，它们分别是个人消费支出cs和个人收入inc的对数差分。通过单位根检验可以发现dlcs和dlinc是平稳的，但log(cs)和log(inc)是有单位根的。通过EG检验或PO检验（见[协整回归模型]一讲）可以发现log(cs)和log(inc)是不协整的。因此，dlcs和dlinc可以建立一个VAR模型。例如，要建立一个VAR(2)模型：$$ x_t = dlcs_t, z_t = dlinc_t,$$ $$ \begin{bmatrix}x_{t} \\ z_{t} \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \ \end{bmatrix} + \sum_{i=1}^2 \begin{bmatrix}A_{i11} & A_{i12}\\ A_{i21} & A_{i22} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{t-i} \\ z_{t-i} \ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}u_{1t} \\ u_{2t} \\ \end{bmatrix} $$ 只需使用如下代码：

smpl 1960q1 1996q4
var var_a                  '创建一个名为var_a的var对象
var_a.ls 1 2 dlcs dlinc    'VAR(2)模型

在ls后面的一对数字指VAR模型中滞后项的起始阶数和结束阶数，例如，要建立VAR(1)模型，它们应该设为1 1。如果模型中的滞后阶数是不连续的，例如，模型只包含一阶滞后和三、四阶滞后，这时就需要使用两对数字1 1 3 4，表示滞后阶数从1开始，然后到1结束，再从3开始，然后到4结束。更复杂的情形可以使用多对数字来表达模型。EViews中建立的VAR模型默认是包含截距的，所以，在ls后的数字对之后，直接跟内生变量就可以了。如果模型除截距外还有其他外生变量，需要在代码后加上@，然后在其后跟外生变量，注意，此时需加上c，否则模型没有截距哟。

上面var_a的估计结果为：

表中DLCS和DLINC两列对应因变量为dlcs和dlinc的方程的估计结果。红色的线提醒你系数估计值下的圆括号里的数值是相应的标准误，方括号里的数值是相应的t统计量。注意，在ARMA模型中，C指的是平稳序列的期望，但在此处，它指的是截距。系数估计值下面那一块中的R-squared等统计量的含义之前都介绍过，我就不赘述了。最下面的一块中包含的是与整个VAR模型有关的统计量：Determinant resid covariance (dof adj.)和Determinant resid covariance指的都是残差的样本协方差矩阵的行列式，只不过前者是进行了自由度调整的；Log likelihood是模型的对数似然；Akaike information criterion和Schwarz criterion是模型的AIC和SIC；Number of coefficients是模型参数的个数。

估计VAR模型的鼠标操作是，选中workfile后点击主菜单的Quick/Estimate VAR，或先建一个空的var对象，然后再点击var对象窗口上方的Estimate按钮，两种方式都会弹出估计VAR模型的窗口：

其中，VAR type选择不同的模型（默认为VAR模型）；Estimation sample设置估计模型的样本期；Endogenous variables设置模型的内生变量；Lag Intervarls for Endogenous设置模型的滞后项，方式就是利用上述ls命令后面的数字对；Exogenous variables设置模型的外生变量，默认包含的外生变量是c，即截距。设置好一切后，点确定就能估计VAR模型了。

模型诊断

VAR模型是AR模型的扩展，估计完一个VAR模型，自然也需要进行模型诊断。首先，需要看一看估计的模型是否是平稳的，这要用到arroots命令：

var_a.arroots         '报告特征方程的逆根及它们的模
var_a.arroots(graph)  '显示特征方程的逆根是否在单位圆内

此外，还需要检验模型的误差是否是白噪声。在[ARMA模型]一讲你已学过如何用Q统计量对一个ARMA模型的误差进行白噪声检验，事实上，Q统计量也存在多变量的版本，可以同时检验多个序列是否同时为白噪声。对VAR模型，实施Q检验可以用qstats命令：

var_a.qstats(10)      '数值指报告的Q统计量的最大阶数

代码执行的结果如下：

表中Q-Stat和Adj Q-Stat都是Q统计量，只是后者进行了自由度调整。它们右侧的Prob.*是相应的p值。注意，当阶数小于等于VAR(p)中的p时，Q检验的p值是没有定义的，因此Q检验不可用。

进行上述诊断检验的鼠标操作为，估计完模型后在var对象窗口的左上角选View/Lag Structure/AR Roots Table、View/Lag Structure/AR Roots Graph或View/Residual Tests/Portmanteau Autocorrelation Test。

滞后参数的选择

建立一个VAR(p)模型，滞后参数p的选择非常重要，但该如何选择呢？一种方式是对比不同p对应的模型的信息准则，这可以利用laglen命令：

var_a.laglen(4)       '数值为设定的滞后参数的最大值

代码执行的结果如下：

表中的Lag即是p；LogL指模型的对数似然；LR指序贯修正的似然率检验统计量；FPE指最终预测误差；AIC、SC、HQ是前面介绍过的三种信息准则（当样本量大于15时，由SC确定的p一定小于等于由AIC确定的p，而由HQ确定的p介于这两个p之间）。FPE的用法与信息准则类似，最小即最优。p的选择可以使用LR、FPE、AIC、SC、HQ中的任一个，选中的p在表中已用星号*标出。

上述laglen命令对应的鼠标操作为，估计完模型后在var对象窗口的左上角选View/Lag Structure/Lag Length Criteria。

命令复习

• var：创建var对象
• ls：估计VAR模型
• .arroots：报告VAR模型的特征方程的逆根
• .arroots(graph)：显示VAR模型的特征方程的逆根的结构
• .qstats(10)：显示VAR模型残差的Q统计量
• .laglen(4)：显示不同p对应的VAR(p)模型的信息准则

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 重复上面的操作。