平滑过渡回归模型

平滑过渡回归（smooth transition regression，STR）模型是这样一种模型：$$y_t = x_t’\beta+z_t’\alpha+G(q_t|\delta,c)z_t’\gamma +u_t$$模型中\(z_t\)的系数（向量）为某一阈值变量\(q_t\)的函数：$$\alpha+G(q_t|\delta,c)\gamma$$其中，\(q_t\)通过过渡函数（transition function）\(G(\cdot|\delta,c)\)来影响\(z_t\)对\(y_t\)的边际影响，\(\delta\)为斜率参数，\(c\)为阈值参数，\(\alpha\)为\(z_t\)线性部分的系数，\(\gamma\)为\(z_t\)非线性部分的系数。

如果\(G(\cdot|\delta,c)\)取离散值的话，显然，STR就是离散阈值回归。所以，在EViews中，STR模型的估计也使用threshold命令。在STR模型中，\(G(\cdot|\delta,c)\)是一个取值在(0,1)间的连续函数，这也是”平滑过渡“的含义。

模型估计

EViews中提供以下四种过渡函数以供使用，它们分别对应逻辑斯特STR模型、指数STR模型、正态STR模型和二阶逻辑斯特STR模型。

Logistic：$$G(s|\delta,c)=\frac{1}{1+e^{-\delta(s-c)}}$$

Exponential：$$G(s|\delta,c)=1-e^{-\delta(s-c)^2}$$

Normal：$$G(s|\delta,c)=\Phi(\delta(s-c))$$ $$\Phi(\cdot)\text{为标准正态分布的累积分布函数}$$

Logistic, second-order：$$G(s|\delta,c)=\frac{1}{1+e^{-\delta(s-c_1)(s-c_2)}}$$

threshold命令的用法与估计离散阈值回归类似，只需令参数type=smooth即可。默认状态下，EViews会估计逻辑斯特STR模型，估计另外三种STR模型需要设参数smoothtrans分别为exponential、normal或logistic2。例如：

smpl 1953m01 1990m12
equation eq1.threshold(type=smooth) cp c fygt10(-1 to -2) @thresh 1 2

估计结果如下：

估计结果显示，最优的阈值变量为\(cp_{t-1}\)，斜率参数的估计值为0.162293，阈值参数的估计值为5.986313。

对某一自变量，如果只想保留它非线性部分的系数而不要其线性部分的系数（也就是将系数强制设为0），那么，只需在代码中将其套上@alt即可。例如：

equation eq1.threshold(type=smooth) cp c fygt10(-1) @alt(fygt10(-2)) @thresh 1 2

线性检验

对STR模型，一个很重要的问题是：是否有必要引入导致模型非线性的过渡函数。对这一问题，我们可以通过线性检验（linearity tests）得到答案。线性检验的原理很简单，就是检验\(\delta=0\)，但是，我们不能通过估计结果中“SLOPE”一行的p值来做这一检验，原因是在此原假设下，\(c\)和\(\gamma\)是无法被识别的。所以，这不是一个常规的检验（那个p值是错的😂）。进行线性检验使用的命令为strlinear，用法为：

eq1.strlinear

代码执行后会报告三种检验结果，原理在此不赘述，请查阅相关资料🎈。

命令复习

• (.)threshold(type=smooth)：估计平滑过渡回归模型
• .strlinear：对STR模型进行线性检验

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 把上面的逻辑斯特STR模型改为二阶逻辑斯特STR模型并估计，两个阈值参数的估计是多少？它们显著吗？