冲击响应函数

VAR模型除了可以用来预测，也可以用来研究VAR系统中一个变量的冲击如何在系统中进行传导，进而影响模型的内生变量。一个变量的冲击，指的是以该变量为因变量的方程的误差的意外变化。

冲击响应函数

冲击响应函数（IRF，Impulse Response Functions）描述VAR系统中某一变量的冲击如何影响内生变量的未来值。以由dlcs和dlinc构建的VAR(2)模型为例：$$ x_t = dlcs_t, z_t = dlinc_t,$$ $$ \begin{bmatrix}x_{t} \\ z_{t} \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \ \end{bmatrix} + \sum_{i=1}^2 \begin{bmatrix}A_{i11} & A_{i12}\\ A_{i21} & A_{i22} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{t-i} \\ z_{t-i} \ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}u_{1t} \\ u_{2t} \\ \end{bmatrix} \tag{1}$$ 该模型的冲击响应函数为：当变量处于VAR模型决定的期望值(稳态)、误差等于0且其他条件保持不变时，\(u_{1t}\)变化对\(\{x_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响，\(u_{1t}\)变化对\(\{z_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响，\(u_{2t}\)变化对\(\{x_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响和\(u_{2t}\)变化对\(\{z_{t+i}\}_{i=1}^{\infty}\)的影响。\(u_{1t}\)的变化被称为\(x_{t}\)的冲击，\(u_{2t}\)的变化被称为\(z_{t}\)的冲击。由冲击引起的\(x_{t}\)和\(z_{t}\)的变化被称为响应。

一般情况下，冲击的大小（即误差的变化量）会取为误差的一个标准差。此外，由于误差间常常是相关的：\(cov(u_{1t},u_{2t})\neq 0\)，\(u_{1t}\)的变化会导致\(u_{2t}\)变化，即“其他条件保持不变”无法达成。因此，我们一般不直接考虑模型\((1)\)中误差的变化，而是先利用误差的协方差矩阵的Cholesky分解将误差正交化，然后再考虑正交化误差（它们互不相关）的变化。所以，一般情况下讲的冲击，是对正交化误差而言的。

估计完一个VAR模型后，要获得IRF可以点击var对象窗口上的Impulse，点击后会弹出如下窗口：

其中，Impulses下设置要查看哪些变量的冲击。Responses下设置要考虑哪些变量的响应。Horizon length设置显示多少期冲击的影响。Accumulated Responses如果勾选的话，会显示冲击的累积效应。Methods for SEs and CIs设置要不要显示响应的置信区间，以及如果显示的话用哪种标准误（默认如图所示）。Confidence interval levels设置置信区间的置信水平，默认为0.95。在这个窗口选Impulse Defination会切换到如下窗口：

其中，Decomposition Method设置使用什么样的冲击。EViews默认选Cholesky – dof adjusted，设置冲击为正交化残差一个标准差（也是一单位）的变化，它与选Cholesky – no dof adjustment的区别在于二者计算残差协方差矩阵时后者没有进行自由度调整。Residual – one unit和Residul – one std.deviation表示冲击是原始残差一单位和一个标准差的变化。注意，这四个选项都要求在右侧的Cholesky Ordering下设置内生变量的排序，不同的排序会得到不一样的IRF，默认的排序为估计VAR模型时ls命令后内生变量的排序。Generalized Impulses是一个不一样的选项，选它将输出广义的IRF，它不依赖正交化残差，因此与内生变量的排序无关。设置好一切后，点击确定就能得到IRF。

下面我们看看在键盘模式下如何获得IRF。我们可以使用impulse命令：

var_a.ls 1 2 dlcs dlinc @restrict @l1(1,2) = 0, @l2(1,2)=0
var_a.impulse(se=a)

其中，参数se用于设置响应的标准误的算法，代码中用的是EViews的默认设置。如果没有用这个参数，冲击响应图里不会显示响应的置信区间（下图中阴影部分）。代码执行的结果如下：

图中右侧的图是冲击响应图，两种冲击，两个内生变量，正好四张子图。图中的纵轴表示变量偏离其稳态的值。可以看到，冲击离0期越远，影响越小。此外，一个变量的冲击对它自身的影响一般比对其他变量的影响大。在图的左侧可以进行一些手动的调节，例如，把一个响应对所有的冲击放入同一张图，你可以自行探索一下。

如果我们只关心某些变量的响应，可以在impulse后直接跟上相应的变量，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs

如果只关心某些冲击带来的影响，可以加上@imp，然后跟上相应冲击对应的变量，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs @imp dlinc

如果想要改变默认的内生变量排序，可以利用@order，例如，

var_a.impulse(se=a) dlcs @imp dlinc @order dlinc dlcs

impulse命令有一系列可选参数可用。如果我们想要以数值方式显示IRF，可以这样：

var_a.impulse(se=a,t)        't，table之意

如果想要显示冲击的累积效应，可以这样：

var_a.impulse(se=a,a)        'a,accumulated之意

如果想要显示广义的IRF，可以这样：

var_a.impulse(se=a,imp=gen)        

上面的例子是最常用到的可选参数设置，如果你想学习更多的可选参数及其相应的设置，你可以通过鼠标模式，利用捕获窗口进行进一步的探索。

方差分解

方差分解（variance decomposition）指的是将VAR模型的预测误差的方差进行分解，利用它可以看出预测误差的方差主要是由哪些变量的冲击导致的。实施方差分解可以选var对象窗口左上的View/Variance Decomposition，点击后会弹出如下窗口：

其中，Display Information下设置要进行方差分解的内生变量。Periods设置最多显示几步向前预测的方差分解。Factorization下默认（也只能）选Cholesky分解，这是因为和计算冲击响应函数一样，方差分解也需要使用Cholesky分解（为了保证方差的可加性），这也意味着进行方差分解也要设定内生变量的排序，在Cholesky ordering处设置。右侧设定标准误及置信区间的计算方法，默认是用Monte Carlo重抽样的方式计算，抽样次数为100次。0.95是默认的置信水平。

实施方差分解的命令是vdecomp，它的用法和impulse非常像，请看下面的例子：

var_a.vdecomp(t) dlinc @order dlinc dlcs

代码中，vdecomp后直接跟要进行方差分解的内生变量（此处仅考虑dlinc），@order后设置内生变量的排序，参数t指方差分解将以数值表的形式展示代码，执行的结果如下：

可以看到，对dlinc的一步向前预测，预测误差的方差100%来源于dlinc的冲击；对dlinc的两步向前预测，预测误差的方差有12.06706%来源于dlcs的冲击，有87.93294%来源于dlinc的冲击，…括号里的数值是对应的标准误。

以Stacked graphs的形式展示方差分解结果是比数值表更直观的方式，在EViews 13里，可以通过为vdecomp加上可选参数sg得到Stacked graphs，结果如下图所示：

图中，不同高度不同颜色的竖条代表不同冲击对方差的贡献度。

历史分解

冲击响应和方差分解都是在看冲击带来的”平均“影响。如果我们关注一个特定的（样本内的）历史时段，好奇在那一时段内某一变量的演化主要是由哪些冲击主导的，那么我们可以利用历史分解（historical decomposition）。简单来说，历史分解就是基于已实现的历史数据，把每一个变量分解成不同冲击影响的部分的加和，外加一个近似误差。在EViews，进行历史分解的命令是hdecomp：

var_a.hdecomp       

结果如下图所示：

图中的Total stochastic是两部分冲击影响的加和，绿色的线就是不同冲击影响的部分。可以看到，在全时段内，dlcs的演化基本由dlcs的冲击主导。在某些时段（如75-80年），dlinc的演化由dlcs的冲击主导；在另一些时段内（如93-95年），dlinc的演化由dlinc的冲击主导。如果我们只想看或展示某一时段的历史分解，如75Q1-80Q1，我们可以这样使用hdecomp命令：

var_a.hdecomp(start=1975q1, end=1980q1)

在应用历史分解时，一个需注意的点是我们尽量不要分析样本早期的时段，因为那部分的近似误差一般会较大。

命令复习

• .impulse：输出VAR模型的冲击响应函数
• .vdecomp：输出VAR模型的方差分解结果
• .hdecomp：输出VAR模型的历史分解结果

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 重复上面的操作并以Stacked Graphs的形式输出模型的方差分解结果。
2. 输入代码var_a.hdecomp dlinc，看一看对dlinc，是否还存在其他某些时段，在其中某一冲击起到了明显的主导作用。