MIDAS回归模型

MIDAS（Mixed Data Sampling，混合数据采样）回归是一类时间序列回归模型，它允许在模型的右侧放入更高频率的采样数据。

在MIDAS回归模型出世之前，在回归模型中融入更高频率数据的方式有两种。一种是把高频数据合成低频变量，然后再放入回归模型中。例如，$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \gamma (\frac{\sum_{i=0}^2 z_{t-i}^H}{3}) +u_t$$其中，\(y_t\)和\(x_t\)是季度变量，\(z_t^H\)是月度变量，\(\beta_0\)、\(\beta_1\)和\(\gamma\)是模型参数。这里的合成是把一个季度里对应的月度数据（\(z_t^H\)：季度\(t\)最后一个月的\(z\)；\(z_{t-1}^H\)：季度\(t\)中间月份的\(z\)；\(z_{t-2}^H\)：季度\(t\)第一个月的\(z\)）进行了等权重平均。当然，合成的方式完全可以采取别的形式。合成低频变量最大问题在于合成的主观性。通常，我们并不清楚一个高频变量如何降频才是合适的。

另一种使用高频数据的方式是直接把高频数据扔进回归中。例如，$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \sum_{i=0}^2 \gamma_i z_{t-i}^H +u_t$$这种方式完全由数据驱动来寻找最优的合成方案（假设\(z_t^H\)和\(y_t\)是线性关系），即寻找最优的加权系数\(\gamma_i\)。从理论上讲，这种方式比主观合成低频变量的方式要好，但它的问题是模型参数会更多。如果备选的高频变量有很多，且高频变量比低频变量的采样频率高很多的话，模型中会含有大量的待估参数，在数据量不够充足的情况下，估计的将偏差会非常大。

MIDAS回归实际上是对上面两种传统方式的折中：既靠数据驱动寻找高频变量的最优加权系数，又加入了一定的主观加权结构以限制参数的个数。

U-MIDAS

MIDAS回归模型的一般表达为：$$y_t =x_t’ \beta+ \sum_{i=0}^{k-1} \gamma_iz_{t-j-i}^H +u_t \tag{1}$$在这里，为了简化说明，我们假设只存在一个高频变量。在估计模型之前，我们需要先设定\(j\)和\(k\)这两个参数。前一个参数设定\(z_t\)从哪一期开始影响\(t\)期的\(y\)；后一个参数设定高频变量的最大滞后阶数（注意：这一参数和低频变量及高频变量的采样频率无关）。如果我们不对加权系数\(\gamma_i\)做任何约束，这实际就是一个普通的多元线性回归，在EViews里被称为U-MIDAS（无约束MIDAS之意）。

估计MIDAS回归需要用到midas命令。打开EViews安装目录下的Example Files\EV13 Manual Data\Chapter 30 – MIDAS Regression\midas.wf1，你会发现workfile里有两个page：

其中，QuarterlyPage存放季度变量，MonthlyPage存放月度变量。

我们用季度变量realgdp对它的一阶滞后及月度变量emp建立一个U-MIDAS回归模型并估计，可以通过以下代码实现：

equation eq1
eq1.midas(fixedlag=5, midwgt=umidas) realgdp c realgdp(-1) @ monthlypage\emp(-1)

括号中的参数fixedlag设定的是模型\((1)\)中的参数\(k\)，参数midwgt设定的是MIDAS回归对高频变量加权的方式。括号后的表达和之前学过的多元回归估计差不多，只是需要在@后把高频变量列出来，包括设好初始的滞后阶数，即模型\((1)\)中的参数\(j\)。上述代码的估计结果为：

可以看到，这个输出结果和多元线性回归的输出结果本质上没有什么差别。

对存在多个高频变量的情形，实现MIDAS回归估计的代码也是类似的。例如，假设还存在一个SemiMonthlyPage的页面（存放每半月采样一次的变量），其中有一个变量m，那么，将其加入到上述模型（设其\(k=8\)、\(j=6\)）可以使用如下代码：

eq1.midas(fixedlag=5 8, midwgt=umidas) realgdp c realgdp(-1) @ monthlypage\emp(-1) semimonthlypage\x(-6)

阶梯加权

当数据量够多、参数不那么多时，使用U-MIDAS是可行的也是更优的，否则，我们需要对\(\gamma_i\)做约束以缩减参数的个数。阶梯加权（step weighting）是这样一种约束方式：$$\gamma_i = \theta_s \text{ for } s = \text{int}(i/L)$$其中，\(\text{int}(i/L)\)表示\(i/L\)的整数部分，\(L\)是一个需要事先设定的取值为正整数的步长（step length）参数。例如，当\(L\)设为2时，\(\gamma_0 = \gamma_1= \theta_0\)、\(\gamma_2 = \gamma_3= \theta_1\)、…这就把无约束情况下加权系数的个数缩减了一半。

采用阶梯加权只需令midwgt=step，并通过参数steps来设置步长（缺省时steps=3）。

Almon加权

Almon加权也叫PDL (polynomial distributed lag，多项式分布滞后) 加权，它通过p阶多项式来约束\(\gamma_i\)：$$\gamma_i =\sum_{s=1}^{p} \theta_s (i+1)^{s-1} $$其中，\(\theta_s\)是待估参数，\(p\)是需要事先设定好取值的参数。显然，只有\(p<k\)时，Almon加权才能起到缩减参数的作用。

如果midas命令后面不带midwgt参数，那么，EViews将采用Almon加权。多项式的阶数由参数polynomial设置（缺省时polynomial=4）。

指数Almon加权

指数Almon加权设\(\gamma_i\)为：$$\gamma_i =\lambda w_i= \lambda \frac{e^{\theta_1i+\theta_2i^2}}{\sum_{s=0}^{k-1}e^{\theta_1s+\theta_2s^2}} $$其中，\(\theta_1\)、\(\theta_2\)和\(\lambda\)是待估参数。\(\lambda\)又叫斜率（slope）参数，这是因为它正是合成变量\(\sum_{i=0}^{k-1} w_iz_{t-j-i}^H\)的系数。

采用阶梯加权只需设midwgt=expalmon。对指数Almon加权和下面的贝塔加权，我们还可以通过cov=white来获得异方差一致的标准误。

贝塔加权

贝塔加权对\(\gamma_i\)的约束为：$$\gamma_i =\lambda w_i = \lambda (\frac{{\omega_i}^{\theta_1-1}(1-{\omega_i})^{\theta_2-1}}{\sum_{s=0}^{k-1}{\omega_s}^{\theta_1-1}(1-{\omega_s})^{\theta_2-1}}+\theta_3) $$其中，\(\theta_1\)、\(\theta_2\)和\(\theta_3\)和\(\lambda\)是唯四需要估计的参数，\(\omega_i\)满足：$$\omega_i =
\begin{cases}
\delta & i=0 \\
i/(k-1) & i=1,\cdots,k-2 \\ 1-\delta & i=k-1
\end{cases}$$其中，\(\delta\)是一个很小的数（\(=2.22e^{-16}\)）。

在EViews中，令midwgt=beta会使用贝塔加权。在使用贝塔加权的情况下，我们可以通过参数beta进一步做三种参数约束：beta=shape对应\(\theta_1 = 1\)；beta=endpoint对应\(\theta_3 =0\)；beta=both对应\(\theta_1 = 1\)且\(\theta_3 =0\)。第一种约束会使\(w_i\)的形状（shape）受\(\theta_2\)控制，如果\(\theta_2>1\)，\(w_i\)会缓慢减小，如果\(\theta_2<1\)，\(w_i\)会缓慢增大。第二种约束会使\(w_i\)的两个端点（endpoint）\(w_0\)和\(w_{k-1}\)会极度接近0。第三种约束兼具前两种效果。

命令复习

• (.)midas：估计MIDAS回归模型

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 基于上文中估计U-MIDAS回归的代码，估计一个基于Almon加权的MIDAS回归模型。如果多项式阶数设为5，你会发现高频变量的系数正好等于U-MIDAS回归的估计结果，这是为什么？
2. 对阶梯加权和Almon加权，我们可以不设定fixedlag参数，而是设定一个maxlag参数，让EViews自动选择最优的\(k\)（寻找残差平方和最小的\(k\)）。对多项式阶数为5的Almon加权，设maxlag=18，最优的\(k\)是多是？