SVAR模型

前面介绍的VAR模型，也叫简约式（reduced-form）VAR模型，这是一个相对SVAR（结构VAR，structural VAR）模型的概念。VAR模型应用的一个困难在于，我们往往不太清楚以什么样的次序排列内生变量，进而获得正交化误差才是合适的。最致命的是，当内生变量较多时，不同排序得出的分析结论可能会相差很大😢。为了解决这一问题，一种途径是使用SVAR模型，从源头上把正交化误差，也叫结构性新息（structural innovation）或结构性冲击（structural shock），给识别出来。

SVAR模型认为简约式VAR模型的误差之所以会存在相关，是因为内生变量间存在同期反馈效应（contemporaneous feedback effect），即同一时期的内生变量间可能会相互影响。因此，SVAR模型的一个基本设定是：$$Ay_t = c + \sum_{i=1}^p A_i^s y_{t-i} + Be_t \tag{1}$$其中，\(A\)和\(A_i^s\)是系数矩阵，其中的系数被称为结构系数（structural coefficients）；\(e_t\)是满足\(Var(e_t)=I_k\)的结构冲击向量。系数矩阵\(A\)的存在是SVAR模型区别于VAR模型的关键。

由于SVAR模型存在同期反馈效应，这使得这一模型具有内生性问题，所以，估计SVAR模型的一种方法是利用工具变量。但是，实际应用中通常不会这么做，这是因为如果我们能利用经济学理论对结构系数进行约束的话，利用简约式VAR的估计结果就能把结构系数识别并估计出来，而不用再去寻找工具变量（寻找好的工具变量常常是件痛苦的事情😢）。常见的约束有三类：A-B约束、S约束和F约束。

A-B约束

对模型\((1)\)中的SVAR模型，我们可以利用\(A\)的逆得到模型的简约式表达：$$y_t = c + \sum_{i=1}^p A_i y_{t-i} + u_t \tag{2}$$其中，\(A_i = A^{-1} A_i^s\)，\(u_t = A^{-1} Be_t \)。所以，简约式VAR模型里的误差方差矩阵为：$$Var(u_t) = \Sigma_u = A^{-1} BB’A’^{-1}$$

基于模型\((2)\)，我们可以获得\(\Sigma_u\)的估计。由于方差矩阵是对称的，所以，这里面包含了对\(k(k+1)/2\)个参数的估计。因为\(A\)和\(B\)共有\(2k^2\)个参数，所以，不对\(A\)和\(B\)进行约束的话，是无法通过估计\(k(k+1)/2\)个参数，进而间接估计出\(A\)和\(B\)的。我们至少需要施加\(2k^2 – k(k+1)/2 = k^2+k(k-1)/2\)个约束才有可能对\(A\)和\(B\)进行识别。

通常，对矩阵\(B\)，我们会设其非对角线上的元素都为0（共\(k^2-k\)个约束）；对矩阵\(A\)，我们会设其对角线全为1（共\(k\)个约束)。因此，我们至少还需对\(A\)的非对角元素再施加\(k(k-1)/2\)个约束。以[VAR模型]里的二元VAR模型为例，我们可以采用如下设定：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ A_{21} & 1 \ \end{bmatrix}$$这意味着同期的dlinc不会进入dlcs的方程。

要估计上述设定的SVAR模型，我们需要先估计对应的简约式VAR模型，再通过设置约束来估计结构系数，相应的代码为：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @unitlower(A)
var_a.append(svar) @diag(B) 
var_a.svar

上面的第一行代码使用cleartext命令（加参数svar）清除已有的SVAR约束设置。第二、三行代码使用append命令（加参数svar）对SVAR进行约束设置：@unitlower函数把\(A\)设为对角线为1（unit的含义）的下三角（lower的含义）矩阵；@diag把\(B\)设为对角矩阵。最后一行代码通过svar命令实施估计。估计结果如下图所示：

图中最上面的部分需要注意收敛是否达成，这是因为SVAR模型的估计方法是MLE，使用了最优化算法。”Structural VAR is just-identified“表明当前的模型是正好识别的，如果存在过度识别，下面的结果会报告检验过度识别的LR统计量。接下来，是展示矩阵\(A\)和\(B\)的约束的部分。然后，是系数的估计结果（包括了估计值、标准误、z统计量和相应检验显著性的p值）以及对数似然值。最后，是矩阵\(A\)和\(B\)以及另外两个矩阵\(S\)和\(F\)（含义见下文）的估计结果。

S约束

如果把\(A^{-1}B\)看作一个整体，令\(S=A^{-1}B\)，有：$$Var(u_t) = \Sigma_u = SS’^{-1}$$在这种设定下可以直接对\(S\)进行约束。由于\(S\)中只有\(k^2\)个参数，因此，一般只需施加\(k(k-1)/2\)个约束就能识别出结构冲击。当然，如果不对\(A\)和\(B\)做设定的话，我们通常无法经由估计\(S\)，进而估计出\(A\)和\(B\)。

接上面的二元VAR例子，在EViews中，如果我们直接对\(S\)矩阵施加约束，至少得施加1个约束。如果我们打算把\(S\)设为上三角矩阵，可以使用@upper函数，代码如下：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @upper(S) 
var_a.svar

对于这个例子，由于对矩阵\(A\)和\(B\)没有做任何设定，所以，在输出的结果中不会出现它们的估计结果。

F约束

上面介绍的A-B约束和S约束都是所谓的短期（short-run）约束，即约束会直接影响结构冲击的短期作用。事实上，为了识别SVAR模型，我们也可以实施长期（long-run）约束，该约束是直接施加在累积响应（系数）上的。

模型\((2)\)可以表达为：$$y_t = \Psi(1)^{-1}c + \Psi(L)^{-1}Se_t $$其中，\(\Psi(L)\)为滞后算子多项式：$$ \Psi(L) = I_k – A_1L – \cdots – A_pL^p$$所以，累计响应（系数）就是\(\Psi(1)^{-1}S\)，这就是EViews中的\(F\)矩阵，F约束即是对它的约束。同S约束一样，为了识别SVAR模型，F约束一般需要至少\(k(k-1)/2\)个。下面是一个施加F约束的例子：

var_a.cleartext(svar)      
var_a.append(svar) @F(1,2) =  @F(2,1)
var_a.append(svar) @F(1,1) =  1
var_a.svar

中间的两行代码直接对\(F\)矩阵的元素做了约束：令\(F\)的两个非对角元素相等，并令\(F\)的第一个对角元素等于1。由于我们其实只需要施加1个约束就能识别二元SVAR模型，所以，这是一个过度识别的例子。

约束设置

除了上面介绍过的施加约束的方式外，我们还可以利用以下函数：

• @vec(X) = v1, v2 …：该函数对矩阵X按列设定，例如，@vec(A) = 1 0, na 1（此处的na表示对参数不做约束），这等价于@unitupper(A)
• @row(X,r) = a：该函数把X的r行的值全设为a
• @col(X,c) = a：该函数把X的c列的值全设为a

当然，我们也可以采用鼠标模式来设置约束：估计完简约式VAR模型后，点击var对象窗口左上方的Proc/Estimate Structural Factorizaton…，将会出现下图：

图中的Restriction Preset处可以选择一些常用的约束设置；Restrictions处可以用鼠标选中不同的矩阵，然后通过右侧Manual下的框进行手动设置。注意，在EViews中允许同时对4个矩阵进行约束设置，尽管我们一般不会这么做。

冲击响应和方差分解

估计完SVAR模型后，可以利用前面见过的impulse和vdcomp命令来获得冲击响应图和方差分解结果，只是需要注意要把参数imp设定为struct：

var_a.impulse(imp=struct)      
var_a.vdcomp(imp=struct)

命令复习

• .cleartex(svar)：清空SVAR模型的约束设置
• .append(svar)：对SVAR模型进行约束设置
• .svar：输出SVAR模型的估计结果

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 通过@vec函数重现上述施加S约束的估计结果。
2. 对上面的施加F约束的例子，过度识别检验的结果显示约束设置是否合理？