ARIMA模型

ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是ARMA模型的一个扩展，对单位根时间序列进行预测，选它就对了。利用滞后算子\(L \)，ARIMA(p,d,q)模型可以写为：$$B_p(L)[(1-L)^d y_t – \mu]= R_q(L)e_t $$ $$B_p(L) = 1 – \beta_1 L – \cdots – \beta_p L^p$$ $$R_q(L) = 1 + \gamma_1 L + \cdots + \gamma_q L^q$$其中，误差\(e_t\)是一个零期望的白噪声。可以看出，ARIMA(p,d,q)模型的含义就是将序列差分d次后，数据会服从一个平稳的ARMA(p,q)模型。

在前面你已经学过如何用ARMA模型预测demo.wf1中的gdp的对数差分dlgdp，事实上，gdp的对数是一条单位根序列，所以，你看到的实际上就是d等于1的ARIMA模型。

从建模的角度看，使用ARIMA模型和使用ARMA模型几乎无差别。你要对一条单位根时间序列进行预测，无非就是先用单位根检验（见[分析预备]一讲）确定d是多少（对经济、金融时间序列，一般d最大就是1），然后再使用ARMA模型。尽管概念上容易理解，在EViews的使用上一定要注意，请看下面的例子：

series dlgdp = dlog(gdp)
equation eq1.ls(arma=cls,cov=white) dlgdp c ar(1 to 2) ma(1)
series lgdp = log(gdp)
equation eq2.ls(arma=cls,cov=white) d(lgdp) c ar(1 to 2) ma(1)

前两行代码你在前面已经见过，它对平稳的dlgdp建立了一个ARMA(2,1)模型。后两行代码从建模的角度看，与前两行代码是完全等价的。但是但是，eq1是无法被用来预测lgdp的，它只能被用来预测dlgdp，而eq2既可以被用来预测lgdp，也可以被用来预测dlgdp，点击eq2窗口上的Forecast按钮，你会发现你可以选择预测lgdp，也可以选择预测d(lgdp)，即lgdp的差分：

事实上，EViews能够理解eq2是一个ARIMA(2,1,1)模型，但是只会把eq1当作一个ARMA(2,1)模型。

估计完ARIMA模型后，仍是使用forecast命令来实施动态预测。EViews默认预测的是原始的序列，如果要预测差分后的序列，需加上可选参数d，请看下面的例子：

pagestruct(start=1952q1,end=1997q4)  '扩充Range
smpl 1997q1 1997q4                   '设定要预测的样本期
eq2.forecast(f=na,g) lgdpf           '对lgdp实施动态预测
eq2.forecast(d,f=na,g) dlgdpf        '对lgdp的差分实施动态预测

进行静态预测也是类似的操作，在这里我不再赘述。但是请注意，上面已经讲过静态预测主要是用来计算预测精度指标的。无论是对原始序列进行静态预测，还是对差分后的序列进行静态预测，对根均方误差和平均绝对误差这两个指标，算出来的数值都是相同的。但是，对平均绝对百分比误差这个指标，两种情况下算出来的值完全不同，哪一个合理？基于平稳序列的静态预测算出来的值合理。所以，请记住这一条：静态预测和平稳序列更配哦。

命令复习

• .forecast(d)：对差分后的序列实施动态预测
• .fit(d)：对差分后的序列实施静态预测

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 对demo.wf1中的变量m1，建立并估计一个ARIMA(p,1,q)模型。基于估计的模型，分别对m1和m1的差分进行静态预测(自行设定要预测的样本期)，验证我说的：两种情况下，根均方误差和平均绝对误差的数值相同，但平均绝对百分比误差的数值不同。