离散因变量模型

当我们研究因变量\(y_i\)会受那些因素影响，且\(y_i\)取值为离散值时，回归模型一般来说不是一个合适的分析模型。譬如，如果\(y_i\)要么取值为1，要么取值为0，那么，我们估计下面这么一个模型$$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + u_i$$在技术上不存在任何困难，用最小二乘法就完事了。但是，这样的估计结果，在应用上会存在问题。

我们知道，在常规状态下，$$\hat{y}_i=\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_{1i} +\hat{\beta} x_{2i}$$是\(y_i\)的拟合值。但是，现在的\(y_i\)要么为1，要么为0，而\(\hat{y}_i\)几乎不可能正好取值到1或0，所以，把\(\hat{y}_i\)解释为\(y_i\)的拟合值是不合适的。事实上，更符合逻辑的解释是：\(\hat{y}_i\)是给定\(x_{1i}\)和\(x_{2i}\)的条件下，\(y_i\)取值为1的概率。这也是我们会把因变量取值为1或0的线性回归模型称为线性概率模型（linear probability model）的原因。

线性概率模型存在的最大问题是，我们无法保证所有被估计的概率\(\hat{y}_i\)都在\([0,1]\)之间，也无法保证如果我们想根据模型估计结果预测一组新的\(x_{1}\)和\(x_{2}\)对应的\(y=1\)的概率时，该概率也在\([0,1]\)之间。所以，回归模型并不是一个适合分析离散因变量的模型。

在计量经济学中，适合用来分析离散因变量的模型被统称为离散因变量模型（discrete dependent variable models），由于因变量的离散取值常常对应着人、公司、政府等单位的不同选择行为，因此，这类模型也常被称为离散选择模型（discrete choice models）。离散因变量模型根据因变量的取值特征，又可进一步分为二值因变量模型、多值因变量模型、排序因变量模型、计数模型等类型。