GARCH类模型

前面你已经学到了如何建立并估计一个GARCH模型，以及如何进行相应的诊断检验和预测等内容。接下来，我将介绍几个GARCH模型的衍生品，我把它们统称为GARCH类模型，由于它们的建模方式与GARCH模型差别不大，我将主要介绍如何用代码实现建模和估计。

ARCH-M模型

ARCH-M中的M，指的是Mean，均值方程之意。把\(\sigma_t^2\)或其某种函数形式当作一个解释变量放入均值方程中，就形成了一个ARCH-M模型。例如，$$r_t = \theta_0 + \theta_1r_{t-1} + \gamma f(\sigma_t^2) + u_t $$ $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 $$ 在EViews中，\(f(\sigma_t^2)\)可以设为\(\sigma_t\)、\(\sigma_t^2\)或\(\log(\sigma_t^2)\)，它们对应arch命令的可选参数archm分别等于sd、var或log的情形，例如：

eq1.arch(archm=sd) dlog(spx) c ar(1)           '令波动率为解释变量
eq1.arch(archm=var) dlog(spx) c ar(1)          '令方程为解释变量
eq1.arch(archm=log) dlog(spx) c ar(1)          '令方程的对数为解释变量

IGARCH模型

IGARCH，Integrated GARCH之意。对GARCH(p,q)模型，如果约束其方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数之和为1，且截距项为0，就得到了IGARCH(p,q)模型：$$\sigma_t^2 = \sum_{i=1}^p\alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^2 $$ $$\sum_{i=1}^p\alpha_i + \sum_{i=1}^q \beta_i =1 $$

建立并估计IGARCH模型，只需为arch命令加上可选参数integrated，例如：

eq1.arch(1,2,integrated) dlog(spx) c ar(1)     'IGARCH(1,2)

TARCH模型

TARCH，Threshold ARCH之意。TARCH模型是基于ARCH模型的扩展，可以用来刻画波动率的杠杆效应。TARCH(p,r)模型的方差方程可以表达为：$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^r \gamma_i u_{t-i}^2I_{t-i}^-$$其中，\(I_{t-i}^-\)是一个虚拟变量，当\(u_{t-i}<0\)时其值取1，否则取0。如果\(\gamma_i>0\)，则波动率存在\(i\)阶杠杆效应。在TARCH(p,r)模型中加入GARCH项，可以将TARCH(p,r)模型扩展为TGARCH(p,q,r)模型：$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^r \gamma_i u_{t-i}^2I_{t-i}^-$$

严格来讲，EViews中的TARCH模型并不是文献中的TARCH模型，而是文献中的GJR-GARCH模型，尽管二者很像。文献中的TARCH模型是直接对\(\sigma_t\)建模，而非对\(\sigma_t^2\)建模。

建立并估计TGARCH模型，只需利用arch命令的可选参数thrsh，例如：

eq1.arch(3,2,thrsh=1) dlog(spx) c ar(1)        'TGARCH(3,2,1)

代码中，thrsh的作用是设置TGARCH(p,q,r)中的r。

EGARCH模型

EGARCH，Exponential GARCH之意。EGARCH(p,q,r)模型的方差方程可以表达为：$$\log(\sigma_t^2) = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i |\frac{u_{t-i}}{\sigma_{t-i}}| + \sum_{i=1}^q \beta_i \log(\sigma_{t-i}^2) + \sum_{i=1}^r \gamma_i \frac{u_{t-i}}{\sigma_{t-i}}$$ 如果\(\gamma_i<0\)，则波动率存在\(i\)阶杠杆效应。

建立并估计EGARCH模型，只需为arch命令加上可选参数egarch，例如：

eq1.arch(2,1,thrsh=2,egarch) dlog(spx) c ar(1) 'EGARCH(2,1,2)

在有egarch存在的情况下，可选参数thrsh只起设置EGARCH(p,q,r)中r的作用。代码执行的结果如下图所示：

注意，表中方差方程的参数是由C(3)、C(4)…表示的，它们对应模型中的哪个参数要看红框部分的模型表达。

估计完能刻画杠杆效应的GARCH类模型，一个直观展示杠杆效应的工具是消息影响曲线（News Impact Curce），它显示当期的波动率如何受上期的误差影响。在EViews中，通过newsimpact命令可以得到模型的消息影响曲线：

eq1.newsimpact        '展示模型的消息影响曲线

结果如下：

PARCH模型

PARCH，Power ARCH之意。PARCH(p,q,r)模型的方差方程可以表达为：$$\sigma_t^{\delta} = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i (|u_{t-i}|-\gamma_{i} u_{t-i})^{\delta} + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^{\delta} $$ 其中，\(\delta >0\)，\(|\gamma_i|\leq 1\)，当\(i>r\)时有\(\gamma_{i}=0\)，且\(r\leq p\)。如果\(\gamma_i<0\)，则波动率存在\(i\)阶杠杆效应。

建立并估计PARCH模型，需为arch命令加上可选参数parch，例如：

eq1.arch(1,0,asy=1,parch) dlog(spx) c ar(1)    'PARCH(1,0,1)

其中，可选参数asy用来设置PARCH(p,q,r)中的r。

如你所见，PARCH模型是一个高度非线性的模型，所以，对它很容易出现估计不收敛的情况。此外，和EGARCH模型一样，方差方程的参数在报告的表中也是由C(3)、C(4)…表示的。

命令复习

• (.)arch(archm=值)：建立ARCH-M模型并估计
• (.)arch(integrated)：建立IGARCH模型并估计
• (.)arch(thrsh=值)：建立TGARCH模型并估计
• (.)arch(egarch)：建立EGARCH模型并估计
• (.)arch(parch)：建立PARCH模型并估计
• .newsimpact：展示模型的消息影响曲线

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 重复上面的操作。
2. 利用dlog(spx)建立如下模型：均值方程是AR(0)模型；方差方程是EGARCH(1,1,1)模型；误差服从GED；方差方程中加入dlog(vix)的一阶滞后。估计该模型并回答问题：(a) dlog(vix)的一阶滞后是否显著；(b) 波动率是否存在显著的杠杆效应。
3. 展示上面EGARCH(1,1,1)模型的消息影响曲线。