协整回归模型

对单位根序列\(y_t\)和\(x_{1t}\),…,\(x_{kt}\)，如果它们之间处于一种长期均衡状态，则称它们之间存在协整(cointegration)关系，此时，可以直接使用回归模型：$$y_t = \beta_0 + \beta_1x_{1t} + \cdots +\beta_k x_{kt} + u_t \tag{1}$$ 在模型中，误差是平稳的序列。此时，回归系数的最小二乘估计量是一致的。

如果变量间是不协整的，则上面的模型不可用，因为此时模型中的误差是单位根序列，这会导致最小二乘估计量不一致。更可怕的是，基于它实施的系数显著性检验常常显示\(y_t\)是受解释变量影响的，哪怕它们之间一毛钱关系都没有，这就是所谓的伪回归（spurious regression）：没关系也能整出有关系。

协整检验

为了防止中伪回归的招，我们需要检验单位根序列之间是否存在协整关系，这类检验被称为协整检验。如果检验显示协整关系存在，则数据可直接用来建立回归模型，如果检验显示协整关系不存在，则只能用差分到平稳的数据建立回归模型。

在协整检验中，Engle-Granger检验（EG检验）是最早出现的一个。以模型\((1)\)为例，EG检验实际上是利用模型的残差、对\(u_t\)实施的原假设为情形3的ADF检验(见[分析预备]一讲)。当原假设成立时，\(u_t\)是有单位根的，因此协整关系不存在；当原假设被拒绝时，\(u_t\)是平稳的，因此协整关系存在。注意，由于EG检验使用的是残差，这是经估计得到的数据而不是真实的数据\(u_t\)，所以，对应ADF检验的临界值与直接使用\(u_t\)进行ADF检验的情形是不同的，这意味着，你在EViews中不能手动调取残差、然后用uroot命令去进行协整检验，因为uroot命令提供的临界值是错的。要实施EG检验，EViews里有单独的命令，但是，我要到下面才能告诉你它是谁、如何用。

另一个常用的协整检验是Phillips-Ouliaris（PO检验），它实际上是利用模型的残差、对\(u_t\)实施的原假设为情形3的Phillips-Perron检验。

协整回归模型

假设现在协整检验已经显示\(y_t\)和\(x_{1t}\),…,\(x_{kt}\)之间是协整的，模型\((1)\)是否就可以直接使用了呢？答案是：基本不能。事实上，模型\((1)\)只能保证最小二乘估计量是一致的，但是，传统的假设检验，如t检验，能不能用就无法保证了。

某些解释变量与\(u_t\)相关，这是所谓的内生性。对平稳数据建立的回归模型，内生性会导致最小二乘估计量不一致。在协整的情形下，内生性不会摧毁最小二乘估计量的一致性，但是，它会使得传统的假设检验失效，这就是“基本不能”的原因。

为了处理可能存在的内生性带来的问题，EViews提供了三种方法：Fully Modified OLS（FMOLS），Dynamic OLS（DOLS）和Canonical Cointegrating Regression（CCR）。不管模型模型\((1)\)是否存在内生性问题，它们都既能一致地估计模型\((1)\)中的回归系数，同时又能保证传统的假设检验可用。这三种方法对应的模型就是三种不同的协整回归（cointegrating regression）模型。

在EViews中，建立并估计一个协整回归模型需要用到cointreg命令。以EViews安装目录下的Example Files\EV13 Manual Data\Chapter 28 – Cointegrating Regression\hamilton_coint.wf1为例，该数据文件中有两个单位根序列lc(个人消费支出的对数)和ly(个人可支配收入的对数)，假设我们的目标是估计下面的模型：$$lc = \beta_0 + \gamma t + \beta_1 ly + u_t\tag{2}$$注意，模型中加入了线性趋势项，这是因为lc是一个有明显上升趋势的序列。使用三种协整回归模型的代码如下：

equation eq1           'FMOLS
eq1.cointreg(trend=linear) lc ly
equation eq2           'DOLS
eq2.cointreg(trend=linear,method=dols,lltype=sic) lc ly
equation eq3           'CCR
eq3.cointreg(trend=linear,method=ccr) lc ly

代码中，cointreg的可选参数trend等于linear表示在模型中加入线性趋势项，如果令其等于quadratic，会再加入二次趋势项（实际应用中基本不会用到）。注意，截距总是包含在协整回归模型中的，所以，不需要在lc后加c。可选参数method用于选择不同的协整回归模型，如你所见，cointreg默认使用的是FMOLS。对DOLS，还有一个可选参数lltype，事实上，如果令method等于dols，这个参数是必不可少的。DOLS有点像自回归，需要设定一个滞后（lag）阶数，此外还需要设定一个领先（lead）阶数，lltype就是设这两个阶数的。令lltype等于sic，EViews会通过SIC自动设置滞后领先阶数，同理，也可以令其等于aic或hqc，这时，EViews会使用AIC或HQIC。

三种协整回归模型估计的结果大同小异，下面仅以eq1为例：

这个表和由命令ls生成的表类似。无论模型\((2)\)有没有内生性问题，表中的t统计量都可以直接使用。有一点需要注意，表最后一栏报告的七个量中，除了最底下的三个，其他都是无意义的。所以，即使你看到一个很高的R方，也不代表你找到了一个解释力很强的模型，因为R方对协整回归模型是没有意义的（请参看[为什么协整回归的R方不可信？]）。事实上可以从理论上证明，R方和调整的R方，在样本量趋于无穷大时，它们都会趋于1。

估计完模型后，如果还需要做其他有关模型参数的检验，仍然可以用wald命令。

估计协整回归模型的鼠标操作是，选中workfile后点击主菜单的Quick/Estimate Equation，或先建一个空的equation对象，然后再点击equation对象窗口上方的Estimate按钮，两种方式都会弹出估计模型的窗口，接下来在Method处选COINTREG就能进行协整回归模型的设置并实施估计了。

现在，我可以告诉你怎么做协整检验了，因为在EViews中，做协整检验需要先估计协整回归模型。然鹅，如上所述，做协整检验只需要直接估计模型\((1)\)那样的传统回归模型，根本不需要估计协整回归模型。从建模的逻辑上讲，也应该是先进行协整检验，在确定有协整关系后再进入估计协整回归模型这一步。EViews弄的这个迷之操作，也是跪了。😒

由于协整检验与协整回归模型无关，所以，用哪个协整回归模型的equation对象进行协整检验，结果都是一样的。因此，下面仅介绍基于eq1的协整检验：

eq1.coint(method=eg)               'EG检验
eq1.coint(method=po,bw=neweywest)  'PO检验

如代码所示，协整检验是通过coint命令实现的。可选参数method等于eg或po分别对应EG检验或PO检验。如果参数method缺失，EViews会进行默认的协整检验，我不是很推荐使用这个默认选项，原因我就不解释了。EG检验和PO检验是比默认选项更流行的单方程协整检验。对PO检验，我建议加上bw=neweywest，这个设置可以让EViews自动选择PO检验中估计长期方差的带宽参数。两种检验的主要结果如下面两张图所示：

可以看到，EG检验和PO检验都会报告名为tau和z的检验统计量，根据对应的p值可直接判断在某个显著水平上要不要拒绝原假设。再提醒一下，原假设是Series are not cointegrated，别搞岔了。

鼠标模式下进行EG检验或PO检验，可以在估计完任一协整回归模型后，在equation对象窗口左上的View下选Cointegration Tests实现。

命令复习

• (.)cointreg：建立协整回归模型并估计
• .coint：实施协整检验

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 打开EViews安装目录下的Example Files\EV12 Manual Data\Chapter 01 – Introduction\stocks.wf1，检验Apple的股票月收盘价aapl_close和IBM的股票月收盘价ibm_close之间存不存在协整关系。