自相关

对时间序列回归模型（time series regression model），误差不仅可能会有异方差的问题，还可能会有自相关（autocorrelation）的问题。自相关也叫序列相关（series correlation）。自相关和异方差很像，它本身不会影响最小二乘估计量的一致性，只影响最小二乘估计量的有效性，且会让传统的计算估计量协方差矩阵的算法失效，进而使得传统的统计检验不再可用。所以，处理自相关的方式与处理异方差类似，我们只需找到正确的计算协方差矩阵的方法就行了。幸运的是，正确的计算方法还真有，算出的协方差矩阵及相应的标准误被称为HAC（heteroskedasticity and autocorrelation consistent，异方差和自相关一致的）协方差矩阵和标准误。

HAC检验

基于HAC协方差矩阵的统计检验被称为HAC检验，不管模型有没有异方差问题，也不管模型有没有自相关问题，HAC检验都可用。在EViews中，告诉软件使用HAC协方差矩阵仍然要用到可选参数cov，标准的用法是让其等于hac，例如：

equation eq4.ls(cov=hac) y c x1 x2 x3

估计结果如下：

红线和红框部分的解释与cov=white的情形相同，我就不赘述了。

鼠标模式对应的操作是在估计模型的对话框里选Options，然后把Covariance method设为HAC（Newey-West）。Newey和West是两位计量经济学家，它们提出的估计HAC协方差矩阵的方法是EViews中的默认方法，虽然还有其他方法可选，但一般使用默认的就可以了，所以，记住cov=hac就行。

在使用最小二乘法的前提下使用HAC协方差矩阵，有一个点需要注意：如果回归模型的右侧含有因变量的滞后项，一般不用HAC协方差矩阵。例如，$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \gamma y_{t-1} + u_t$$逻辑是这样：我们用HAC协方差矩阵是为了应对自相关问题，但是，如果\(u_t\)存在自相关，这类模型一般会有内生性问题，因此，最小二乘估计量一般是不一致的，所以，无论用什么协方差矩阵，都做不了正确的统计推断。

也就是说，对上述这类模型，如果最小二乘估计量是一致的，误差一般是没有自相关问题的，因此，我们最多只需要使用异方差一致的协方差矩阵即可。如果最小二乘估计量是不一致的，我们就需要更换估计方法，那种情况下，统计推断就是另一个故事了。

自相关检验

上面的介绍意味着，如果回归模型的右侧含有因变量的滞后项，检验误差是否具有自相关是一个必须要做的诊断检验。EViews里提供的自相关检验是Breusch-Godfrey LM检验，这个检验假设回归误差如果有自相关的话，它会源于一个自回归模型：$$u_t = \rho_1 u_{t-1} + \cdots + \rho_p u_{t-p} + e_t$$其中，\(e_t\)是一个零期望的白噪声。检验自相关，等价于检验所有的\(\rho\)都等于0。

实施Breusch-Godfrey检验需要用到auto命令，它的用法与white命令类似：

eq1.auto(4)      '括号中的数字指上述自回归模型的滞后阶数p，需自行设定

对应的鼠标模式是在equation对象窗口左上选View/Residual Diagnostics/Serial Correlation LM Test，然后输入对应自回归模型的滞后阶数。检验结果如下图所示：

EViews会报告两个检验统计量的数值、对应的分布以及它们的p值，根据这两个统计量得出的推断结论一般不会有分歧，如果有的话，你可以只看第二个统计量：Obs*R-squared。

前面介绍过，命令ls报告的结果中含有DW统计量，它一个古老的用于检验误差自相关的统计量。相比于Breusch-Godfrey检验，基于DW统计量的自相关检验有很多缺点，在现时的应用中已很少有人用它了，所以，忘了DW统计量吧。

命令复习

• (.)ls(cov=hac)：实施最小二乘估计并使用HAC协方差矩阵
• .auto(c)：实施Breusch-Godfrey检验

[注] ( . )命令表示命令可单独使用，也可跟在对象后使用；.命令表示命令只能跟在对象后使用。

练习

1. 利用[数据导入]一讲练习中生成的demo.wf1，用m1的年化增长率做因变量(回顾一下函数@pca)，gdp的年化增长率做自变量，建立一个一元线性回归模型。模型是否有自相关问题(滞后阶数设为4)？对每个参数的显著性，HAC检验的结果与传统检验的结果是否相同？